Estetica Demersurilor Inutile

… tradusă și interpretată în poate prea puține cuvinte, ceva mai „constructivist privită” + câteva demonstrații „în plus”

Această operă, al cărui titlu probabil amintește de „Philosophiæ Naturalis Principia Mathe­matica”¹ domnului Isaac Newton – cel puțin în propria mea perspectivă – reprezintă un punct de in­flexiune în re-formalizarea „conceptelor matematiciste²”, oferind totodată o fundație solidă bazată pe un sistem axiomatic strict logic formalizat, în aceeași manieră în care principiile newtoniene au fundamentat – cu ceva timp în urmă – formalismele „fiziciste” ori acelea „fizicaliste”³.

Așa încât – cel puțin în acest context discursiv – s-ar putea accepta că, tocmai prin această lucrare, domnul Giuseppe Peano a re-construit fundamentele matematicii printr-o abordare – deși, probabil neintenționat – constructivistă, centrată pe axiome și demonstrații explicit recursive, mai degrabă decât pe intuiții ori revelații analogic fundamentate.

Doar că, pentru a aprecia pe deplin perspectiva domniei sale – probabil – în prealabil, ar tre­bui apreciate atât contextul intelectual al sfârșitul de secol XIX, cât și evoluția conceptului de număr – de la practicile empirice ale antichității la acceptarea lui „zero” ori a „infinitului”, culminând cu formalizarea riguroasă a tuturor acestora, alături de operațiile în care ar putea fi implicate.

Așa încât – revenind:

Sfârșitul secolului al XIX-lea a fost marcat de o căutare intensă a rigorii în fundamentele matematicii, pe fondul progreselor în aritmetică, algebră, analiză și geometrie, care au evidențiat ne­voia de a reconstrui concepte fundamentale precum numerele naturale pe baze mai solide decât cele intuitive, empirice ori „revelate”.

Iar, prin lucrările domnilor Gottfried Wilhelm Leibniz, în care domnia sa și-a propus propria perspectivă asupra unui limbaj universal⁴, George Boole care a „logicizat algebra” ori a „algebrizat logica”⁵ – și ale lui Gottlob Frege, care a propus fundamentarea matematicii pe sistem logic biva­lent, s-au promovat un soi abordări simbolice și formale a matematicilor.

În timp ce – desigur – prin contribuțiile contribuțiile domnilor lor, domnii Georg Cantor prin maniera în care a formalizat „teoria mulțimilor” și Richard Dedekind prin felul în care a definit nu­merelor reale au sugerat necesitatea eliminării tuturor „ambiguităților formalismelor matematicist descrise”.

Oricum – re-revenind – în societățile preistorice și antice, numărarea era o practică cât se poate de „practică”, motivată de nevoi concrete, precum gestionarea resurselor ori împărțirea timpu­lui.

Spre exemplu, „Osul Ishango din Congo”⁶ prezintă crestături grupate, sugerând o formă tim­purie de numărare.

În Mesopotamia în mileniul III înainte de Isus Hristos, babilonienii foloseau un sistem sexa­gesimal⁷ pentru calcule curente, reprezentând numerele naturale prin simboluri cuneiforme repetiti­ve.

Egiptenii cu circa 2000 înainte de Isus Hristos utilizau deja un soi de sistem decimal, în care fiecare simbol era repetat de câte ori era necesar⁸, dar fără zero – conceptul de „nimic” ne-reprezin­tând altceva decât „nimic”.

Zero nu era recunoscut ca număr⁹.

Deși, tot babilonienii promovau deja un „simbol pentru absență”, ca pe un soi de precursor al lui 0 – de fapt foloseau un „marcaj” cu un „simbol” pentru „absența a ceva”. Doar că, nu putea fi fo­losit în calcule, întrucât nu concepeau „operații cu «nimic»”.

Și mai mult chiar era folosit doar ca simbol „median”, adică în mijlocul unei succesiuni de cifre diferite prin care trebuia să se reprezinte un număr. Precum spre exemplu, pentru a diferenția numere precum 201 și 21. Iar, în măsura în care existența sa putea fi dedusă din context, era pur și simplu, ignorat.

Apoi, în antichitatea greacă, pitagoreenii au atribuit numerelor naturale semnificații mistice, asociindu-le cu forme geometrice¹⁰. Numărarea era înțeleasă ca o succesiune implicit acceptată de elemente identice, iar infinitul era tratat precum ar reprezenta o „ciudățenie”, un concept care ar conduce la paradoxuri și contradicții – așa precum dealtfel au și demonstrat prin „paradoxurile lui Zenon¹¹”.

Și toate acestea în timp ce, în India, conceptul de „shunya” – vid – a apărut în texte vedice ca o posibilă perspectivă filosofic definibilă și domnul Aryabhata – cam cu 500 de ani după Isus Hris­tos – a promovat un sistem de numărare proto-„pozitional”, în care cifra zero … încă nu avea un sta­tut bine determinat¹².

Deși, într-un manuscris antic, scris pe scoarță de mesteacăn, descoperit în 1881 în satul Bakh­shali, se poate remarca folosirea unui sistem de numere cu valori pozițional indicate, în care un punct desemna „zeroul”. Iar, acel punctul era numit shunya-sthāna „loc gol”. Cu toate că, tot același „simbol” era folosit și în expresiile algebrice pentru o variabilă necunoscută, cam cum s-ar folosi „x”-ul în algebra contemporană¹³.

Iar, „0” va apare ceva mai târziu, la aproximativ 628 de ani după Isus Hristos, când domnul Brahmagupta îl promovează în „Brāhmasphuṭasiddhānta”¹⁴ ca număr cu proprietăți aritmetice:

Spre exemplu – în acest abia menționat context discursiv – domnia sa menționează că suma unui număr pozitiv și a unui număr negativ este diferența lor iar, dacă sunt egale, zero și totodată că, scăderea unui număr negativ este echivalentă cu adunarea unui număr pozitiv ori că, că produsul a două numere negative este pozitiv.

Doar că, unele dintre propunerile privitoare la fracții diferă de acelea agreate prin sistemati­zarea modernă al numerelor raționale .

Spre exemplu, prin reglementările propuse de către domnia sa, s-ar putea accepta, că:

Un număr pozitiv sau negativ, împărțit la zero, este o fracție cu zero ca numitor.

Zero împărțit la un număr negativ sau pozitiv este fie zero, fie este exprimat ca o fracție cu zero ca numărător și cantitatea finită ca numitor.

Zero împărțit la zero este zero.¹⁵

Totuși, în secolul al XII-lea, domnul Bhāskara al II-lea, în Līlāvatī – tratatul domniei sale despre matematică a sugerat – că, împărțirea la zero ar trebui să aibă ca rezultat o cantitate infini­tă.

O cantitate împărțită la zero devine o fracție al cărei numitor este zero.

Această fracție se numește cantitate infinită.

În această cantitate constând din ceea ce are zero ca divizor, nu există nicio modificare, deși multe pot fi adăugate sau extrase; așa cum nicio schimbare nu are loc în Dumnezeul infinit și imua­bil atunci când lumi sunt create sau distruse, deși numeroase ordine de ființe sunt absorbite sau scoase la iveală¹⁶.

Oricum – revenind – aceste idei au fost preluate în cultura arabă prin matematicieni precum domnul Al-Khwarizmi – la aproximativ 825 de anii după Isus Hristos¹⁷ – care a adoptat „sifr”¹⁸ – zero – din sistemul de numerație indian.

Iar, în Europa¹⁹, domnul Fibonacci la 1202 ani după Isus Hristos a promovat zero și sistemul decimal prin „Liber Abaci”²⁰, doar că, numerele naturale rămâneau definite intuitiv, ca numere „nu­mărabile”: 1, 2, 3 și așa mai departe.

Și mai mult chiar, în ceea ce privește „infinitul”, acesta a fost descris cu precădere în contex­te „teologiste” – spre exemplu, domnul Al-Ghazali îl promova ca pe un soi de „potențial divin” – în timp ce, în acelea „matematiciste” a rămas doar vag descris.

Pentru ca, începând din secolele XVI-XVIII, matematicienii – precum domnii Descartes și Newton – să integreze numerele naturale atât în algebră cât și în calcule infinitezimale, deși definiții­le lor rămâneau – încă – „intuitive”.

Și deși – între timp – existența lui „0” fusese pe deplin acceptată, acesta nu era încă considerat: „număr na­tural cu drepturi depline”. Iar „infinitul” apărea în descrierea unor „serii” și a unor „limite”, dar fără a beneficia de o teorie formală, care să-i sustenteze existența ori proprietățile.

Iar – în cele din urmă – în secolul XIX, în 1861, domnul Hermann Grassmann – în lucrarea domniei sale „Lehrbuch der Arithmetik für höhere Lehranstalten²¹”, în 1861 – a propus o definiție recursivă a nu­merelor, generate prin adăugare succesivă de „unități”, domnul Richard Dedekind – în 1888 în lu­crarea domniei sale „Was sind und was sollen die Zahlen?”²²– le-a definit ca și cum ar alcătui un sis­tem ordonat, prin care, pornindu-se de la „1” și aplicându-se un „succesor”, inductiv s-ar putea ajunge până la „infinit”, iar domnul Gottlob Frege le-a abordat logic, definind N ca clasa mulțimilor cu n elemente. Doar că, această definiție era complexă și depindea de o „teorie mulțimilor”.

Apoi, domnul Georg Cantor a revoluționat toate acestea propunând o „teorie a mulțimi­lor” în care erau acceptate cardinalități infinit de mari – cel puțin – pentru „mulți­mile numerelor” de orice soi²³.

Deci – în acest ancadrament acceptiv – domnul Giuseppe Peano a propus în 1889 „Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita” – cu alte cuvinte, „Principiile aritmeticii

prezentate într-o nouă metodă” – astfel propunând pentru aritmetică ceea ce cu mult timp mai înainte, domnul Euclid prin „Elementele”²⁴ domniei sale oferise geometriei: un sistem axiomatic concis, capabil să susțină întreaga construcție a numerelor naturale.

Și oricum, importanța lucrării domniei sale nu o constituie doar propriile-i axiome prin care fondează mulțimea abia menționatelor numere ori definirea funcți­ei „succesor” și unicitatea rezultatului acesteia sau faptul că 1 – deși în unele sisteme moderne se începe de la 0 – nu este succesorul nici unui număr ci – nicidecum în cele din urmă – „principiul inducției”.

Iar, elementul de noutate care o definește nu rezidă doar în conținut, ci tocmai în forma aces­teia, sustentată de un simbolism logic sistematic, articulat într-o limbă latina deliberat de-„persona­lizată”²⁵, domnia sa astfel dorind să elimine ambiguitățile și să facă cat mai „formalizabile” forma­lismele logice.

Așa încât, în acest context, lucrarea domniei sale a devenit punctul de plecare al perspective­lor care – ulterior – îi vor transcende propriile-i propuneri:

„Logicismul” – propus de către domnii Frege, apoi Bertrand Arthur William Russell și Al­fred North Whitehead presupunea reducerea aritmeticii la logică pură.

Iar, pentru acesta „axiomele peanoiene, formulate într-un limbaj – cat se poate de – logic, au furnizat atât material de re-construcție a conținutului minimal al aritmeticii, cât și instrumentul nota­țional fără de care toate acestea ar fi evoluat într-o manieră probabil mai puțin formală.

„Formalismul” – propus prin perspectiva domnului David Hilbert, în care matematica repre­zenta – cumva – un ansamblu de „jocuri cu semne” guvernate de axiome și reguli, în care probleme­le consistenței sistemice devin fundamentale.

Așa încât, aritmetica peaniană „funcționează” în acest context ca exemplul canonic de sis­tem deductiv finit, asupra căruia poate fi aplicat orice sistem meta-matematicist.

„Intuționismul” inițiat de către domnul Luitzen Egbertus Jan Brouwer prin care domnia sa contestă legitimitatea „principiului terțului exclus”²⁶ și a „existențelor neconstructive”, dar care își definește poziția printr-un soi de dialog paradigmatic peano sustenabil, chiar și când respinge unele metode clasice, întrucât – tot – acceptă nucleul constructiv al aritmeticii finite, bazat pe inducție și recursii primitive.

Ulterior, formalizarea logicii și aritmeticii intuiționiste promovată de către domnul Arend Heyting oferă o contra-perspectivă celei peanoiene, dar una care rămâne calibrată pe aceeași para­digmă mai mult ori mai puțin formal deja propusă de către domnul Peano.

Prin urmare, „Arithmetices Principia” nu reprezintă doar o „listă de axiome”, ci un etalon metodologic care catalizează trei răspunsuri majore – divergente – la aceeași întrebare despre teme­iul adevărului matematic: reducere logică, închidere formală, reconstrucție constructivă.

Iar, în toate cele trei – abia sugerate – contexte, aritmetica peanoiană este fie punct de plecare – precum pentru „logicism sau formalism” fie referința critică – precum pentru „constructivism” ori pentru „intuiționism”.

Oricum – revenind – „Aritmetica Peano” reprezintă – probabil doar „în primul rând” – un sis­tem axiomatic dezvoltat pentru construirea numerele naturale

Și deși domnia sa probabil nicidecum nu a intenționat, chiar în cea mai perspectivă „con­structivistă” – totuși – acest soi de paradigmă „aritmeticistă” reprezintă un soi de „construcție” întru­cât – indiferent din ce perspectivă ar fi privită – se bazează pe „pași” expliciți și recursiv promovați.

De fapt, un soi de „re-construcție”. Întrucât cel puțin în proprie-mi perspectivă domnia sa a „fundat o construcție deja construită”. Dar, asupra acestui detaliu, în acest context, nu voi insista. Ci voi reveni într-un ancadrament dedicat.

De fapt – revenind – în perspective constructiviste, inductiv privind, „nici o proprietatea nu există cu adevărat «până la infinit»”, ci doar pentru orice element – precum „k” spre exemplu – pentru care „oricând se poate construi o dovadă pentru P(k) prin aplicări finite ale pasului inductiv.

Și mai mult chiar, deși în accepțiuni „matematicist clasiciste” se folosesc principii non-con­structive – precum spre exemplu: „ori P, ori nu P”, iar constructivist privind, așa ceva nu prea este posibil, prin Aritmetica Peano – probabil exclusiv în perspectivă constructivistă – pornind de la 1, se oferă o fundație solidă pentru „orice s-ar putea reprezenta prin matematică”.

Așa încât, în acest context, am privit perspectivele peanoiene printr-o perspectivă „construc­tivistă”, prin care numerele sunt prezentate ca și cum ar fi fiind construite pas cu pas, începând de la 1, prin operații recursive.

De fapt – cel puțin astfel „privind” – nu s-ar presupune că acestea – cel puțin cele naturale – ar exista „deja” ca un mulțime infinită dată, ci sunt construite, pornindu-se de la un element de bază, notat de obicei cu 0 uneori 1 – în chiar acest caz – prin aplicarea unei funcții „succesor” pentru a se genera următorii termeni.

Așa încât – pur și simplu:

Dacă n este un număr natural, atunci S(n) – adică: abia menționata funcții „succesorul lui n” – este un număr natural.

Astfel creându-se secvența: 0, S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3 și așa mai departe.

Sau – precum în accepțiile peanoiene 1, S(1) = 2, S(S(1)) = 3, S(S(S(1))) = 4 și așa mai de­parte.

Așa încât, fiecare număr este construit finit, prin aplicări succesive ale lui S.

Iar, în acest context „operațiile” sunt definite recursiv, ceea ce se potrivește perspectivelor constructiviste, întrucât – pur și simplu – fiecare valoare este calculată pas cu pas, astfel încât:

Adunarea (+):

Cazul de bază: m + 1 = S(m)

Pasul inductiv: m + S(n) = S(m + n)

Precum spre exemplu:

Pentru a calcula 2 + 3:

2 + 3 = 2 + S(2) = S(2 + 2) = S(S(2 + 1)) = S(S(S(2))) = S(S(S(S(1)))) = 5.

Așa încât, fiecare pas reprezintă o „construcție” explicită.

Înmulțirea (×):

Cazul de bază: m × 1 = m

Pasul inductiv: m × S(n) = m + (m × n)

Precum, spre exemplu:

3 × 2 = 3 + (3 × 1) = 3 + 3 = S(S(S(3))) = S(S(S(S(S(S(1)))))) = 6.

Deci – și în acest caz – fiecare pas reprezintă o „construcție” explicită.

Iar, celelalte operații – precum scăderea sau diviziunea – care nu sunt „complet închise” în mulțimea numerelor naturale – întrucât spre exemplu, 2 – 3 = – 1, iar „-1” nu este nicidecum un nu­măr natural – nu sunt astfel definite, dar constructivist privind, pot fi definite chiar în momentul în care astfel de „construcții” au sens.

Oricum – revenind – aproape „toată aritmetica peanoeană” se fondează pe „Principiul Induc­ției Constructive” – și dealtfel, tot „constructivist privind” reprezintă un concept acceptabil, întrucât implică succesiuni absolut succesiv ordonate de construcții.

Așa încât:

Pentru orice proprietate P(n) care poate fi „ constructiv definită” – adică, decidabilă sau cu dovadă explicită:

Dacă P(1) este adevărat – în „cazul de bază”.

Și dacă, pentru orice n, dacă P(n) cu adevarat există, atunci P(S(n)) cu adevarat există – „pa­sul inductiv”.

Atunci, pentru orice număr natural k, P(k) este adevărat.

Și atunci …

Vă mulțumesc pentru atenția acordată.

Cristian Nicolae Șchiop

Bacău, septembrie 2025

Notă privind drepturile de autor:

Conținutul acestui articol și al documentului atașat respectă drepturile de autor.

Lucrarea originală a lui Giuseppe Peano, Arithmetices Principia (1889), este considerată în domeniul public datorită vechimii sale, conform legislației internaționale privind drepturile de autor.

Dacă citați acest articol sau documentul atașat, vă rog să-mi menționați explicit contribuția, și denumirea acestui site: Șchiop Nicolae Cristian, „https://esteticademersurilorinutile.com”.

1 Propusă de către domnul Isaac Newton, aprobată pentru publicare de către domnul Samuel Pepys – președinte al „Societății Regale” în 5 iulie 1686 și tipărită la Londra de către Joseph Streater, cu sprijinul abia menționatei „Socie­tății Regale” în anul 1687.

2 În principiu ori cel puțin în ancadramentele discursive familiare probabil doar mie însămi, termenul „matemati­cist” – ar putea reprezenta orice concept, care s-ar referi la ceea ce:

Domnul Aristotel clama: „Știința cantității”.

Domnul Isidore Auguste Marie François Xavier Comte sugera că ar reprezenta: „Science des grandeurs” – „Ști­ința măsurării indirecte”, în accepțiuni contemporane

Domnul Benjamin Peirce: „Mathematics is the science that draws necessary conclusions” – Matematica este știința care trage concluziile necesare.

Domnul Bertrand Arthur William Russell: … „all Mathematics is Symbolic Logic” -Toată matematica este logi­că simbolică.

Domnul Luitzen Egbertus Jan Brouwer: „The only possible foundation of mathematics must be sought in this construction under the obligation carefully to watch which constructions intuition allows and which not” – Singura fundație posibilă a matematicii trebuie căutată în această construcție, sub obligația de a observa cu atenție care con­strucții – intuitiv – sunt permise și care nu.

Domnul Arend Heyting … „intuitionist mathematics is nothing more nor less than an investigation of the ut­most limits which the intellect can attain in its self-unfolding – matematica intuiționistă nu este nici mai mult nici mai puțin decât o investigație a limitei limitelor e pe care intelectul le poate atinge în auto-dezvoltarea sa.

Ori pur și simplu – revenind la perspectiva domnului Russell: „The subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.” – Disciplina în care nu știm niciodată despre ce vorbim și nici dacă ceea ce spunem este adevărat.

Cel puțin conform celor sugerate în:

„A History of Mathematics”, lucrarea domnului Florian Cajori a cincia ediție din 1991, publicată de către „American Mathematical Society” – printre paginile 285 și 286

Primul volum al „Cours de philosophie positive, Troisième Leçon” – lucrarea domnului Isidore Auguste Marie François Xavier Comte, publicată la Paris, la „Rouen Frères”, în 1830.

„Linear associative algebra” lucrarea domnilor Benjamin Peirce și Charles Sanders Peirce publicată la New York, la „D. Van Mostrand”, în 1882 – la pagina 7

„The Principles of Mathematics”, lucrarea domnului Bertrand Russell, publicată în 1903 la „Cambridge at the University Press” – la pagina 5.

„Recent Work on the Principles of Mathematics” articolul domnului Bertrand Russell, publicat în „Internatio­nal Monthly”, volumul 4 din 1901.

„The Development of Intuitionistic Logic” articolul domnului Mark van Atten, publicat în 8 noiembrie 2017 în „The Stanford Encyclopedia of Philosophy” ediția din iarna anului 2017, editată de către domnul Edward N. Zalta, și publicată de către „Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved”.

3 Tot „în principiu” și – tot – „cel puțin în ancadramentele discursive familiare probabil doar mie însămi”, termenii:

a. „Fizicist” reprezintă un soi de abstractizare a accepțiilor „fizicește” calificabile.

„Fizicismul” reprezintă generica calitate a unui sistem filosofic conceptual, pe care – spre exemplu – domnul Karl Raimund Popper l-a definit, prin analizarea spectrului intensional al „unei afirmații despre o proprietate fizi­că”, care, poate fi – cel puțin teoretic – „contrazisă” printr-o „observație”.

În timp ce – în ciuda faptului că, cel puțin aparent reprezintă aceleași soiuri de paradigme acceptive și tot un soi de concept filosofic,

b. „Fizicalismul” nu prezintă decât un soi de izomorfism expresiv cu „fizicismul”.

De fapt „fizicalismul” reprezintă perspectiva prin care s-ar presupune că nu există nimic – real – în afara „celor fizic definibile”.

Ori perspectiva conform căreia tot ceea ce chiar în acest moment există – inclusiv mințile umane – a apărut în virtutea re-aranjamentelor și a interacțiunilor dintre particulele și forțele fizice care au apărut după nașterea Univer­sului.

Cel puțin conform celor sugerate în:

Articolul „physicism” găzduit pe platforma:

„https://www.merriam-webster.com, la adresa: „https://www.merriam-webster.com/dictionary/physicism”, de­sigur de către: „Merriam-Webster Dictionary.

Respectiv aceluia – omonim – găzduit de: „Collins Online Dictionary”, la adresa: „https://www.collinsdictionary.com/dictionary/english/physicism” – desigur – pe platforma „https://www.collinsdictionary.com”

„Philosophy of Mind: A Very Short Introduction – Very Short Introductions” – lucrarea doamnei Barbara Gail Montero, publicată la „Oxford University Press” în 2022.

„Defining „Physicalism”” – articolul domnului Robert M. Francescotti, publicat în „The Journal of Mind and Behavior”, volumul 19, numărul 1 din iarna anului 1998, printre paginile 51 și 64.

Articolul domnului Andreas Elpidorou – „Introduction: The Character of Physicalism” – publicat în „Topoi”, volumul 37, printre paginile 435 și 455, din 2018.

Dar, asupra acestor detalii – cel puțin în acest context – nu voi reveni.

4 De fapt, domnul Leibniz a propus conceptul unui limbaj formal simbolic menit să exprime adevăruri matemati­ce și logice într-un mod universal, precis și deductiv – „characteristica universalis”.

Așa încât, în lucrarea domniei sale „De Arte Combinatoria”, în 1666 a sugerat posibilitatea creării unui sistem simbolic care să permită combinarea conceptelor prin reguli logice, anticipând astfel formalismul modern „matema­ticist-contemporan”.

5 În matematică și în logica matematică, „algebra booleană” reprezintă o ramură a algebrei care diferă de alge­bra „consacrată”, în primul rând prin faptul că, valorile variabilelor sunt valorile de adevăr – adevărat și fals , de obicei notate cu 1 și 0 – în timp ce în algebra elementară valorile variabilelor sunt numere, iar în al doilea rând, al­gebra booleană folosește operatori logici precum conjuncția ( Și ), notată cu ∧ , disjuncția ( SAU ), notată cu ∨ , și negația ( NU ), notată cu ¬ . Algebra „clasică”, pe de altă parte, folosește operatori aritmetici precum adunarea, înmulțirea, scăderea și împărțirea.

Prin urmare, algebra booleană este o modalitate formală de a descrie operațiile logice în același mod în care al­gebra elementară descrie operațiile numerice.

Oricum – revenind – „Algebra booleană” a fost propusă de către domnul George Boole în lucrarea domniei sale „The Mathematical Analysis of Logic” – publicată în 1847 în Anglia. la Cambridge de către editura „Macmillan, Barclay, and Macmillan” și ulterior detaliată în „An Investigation of the Laws of Thought” în 1854 publicata la Londra, de „Walton and Maberly” și co-publicată la Cambridge de „Macmillan & Co”.

6 Cu o vechime de 20.000 de ani, a fost supranumit „cel mai vechi instrument matematic al omenirii”, cel puțin conform celor sugerate de către domnul Dirk Huylebrouck, în lucrarea domniei sale „Africa and Mathematics – From Colonial Findings Back to the Ishango Rods” – publicată în 2019 la „Springer Nature Switzerland AG” – în capitolul „Missing Link”, printre paginile 153 și 166.

Deși – de fapt – istoria uneltelor gravate e mult mai lungă, spre exemplu, „Osul de lup” din Cehia are 26.000 de ani, iar osul „Lebombo” din Africa de Sud depășește 40.000 de ani.

Dar, în acest context nu voi insista asupra acestui detaliu.

7 „În baza 60” adică, precum acela încă folosit – într-o formă modificată – pentru măsurarea timpului unghiuri­lor și coordonatelor geografice .

Iar, cifrele cuneiforme foloseau zece ca sub-bază, în stilul unei notații „semn-valoare”, în care o cifră sexagesi­mală era compusă dintr-un grup de semne „înguste”, reprezentând unități de până la nouă și un grup de semne „late”, reprezentând până la cinci zeci. Iar valoarea cifrei era reprezentată – pur și simplu – „aditiv”, adică de suma valorilor părților sale componente.

Unde, o abia menționată „notație semn-valoare” reprezintă numerele folosind o secvență de numerale, fiecare reprezentând o cantitate distinctă, indiferent de „poziția lor în secvența în care sunt reprezentate”.

Așa încât – deși desigur, convențiile ar fi putut fi diferite – poziția unui semn nu influența valoarea unui număr astfel reprezentat.

8 Cu alte cuvinte „nepozițional” precum este actualmente cel tot – decimal – contemporan.

Deci – pur și simplu – aveau simboluri diferite pentru 1,10,100,1.000,10.000,100.000, „1 milion, sau multe” pe care le repetau succesiv, de câte ori era necesar.

9 Deși, cel puțin aparent, simbolul „nefer” simbolizând în principiu „bun”, „complet”, „frumos” mai era aparent folosit și în încă două posibile interpretări, întrucât într-un papirus în care se enumerau „cheltuielile de judecată”, datat cu aproximativ  1740 înainte de Hristos, acesta indica un „sold zero”.

Iar, atât într-un desen de pe „piramida din Meidum” cât și deopotrivă în alte situri de acest soi, tot „nefer” era folosit pentru a indica nivelul solului, înălțimea și adâncimile fiind măsurate „deasupra neferului” sau în măsura în care era cazul, „sub nefer”, în timp ce, conform celor sugerate de către domnul Carl Boyer, un act descoperit la Edfu conținea un concept privitor la ceea ce ar putea reprezenta zero, pentru a descrie geometric o anumită valoare a unei magnitudini.

Desigur, ambele perspective fiind cel puțin conforme cu cele sugerate de către domnul George Gheverghese Joseph, în lucrarea domniei sale „The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics” publicată la Princeton University Press în 2011.

10 De fapt, domnul Pitagora – cel puțin aparent – promoa perspectiva prin care s-ar putea accepta faptul că, nume­rele în sine explicau adevărata natură a Universului.

În cultura greacă, în vremea lui Pitagora, numerele erau exclusiv „naturale” – adică numere întregi pozitive și lipsite de orice accept pentru vreun soi „zero”. Dar, spre deosebire de contemporanii lor, filosofii pitagoreici repre­zentau numerele grafic, nu simbolic ori pur și simplu prin litere.

Așa încât, foloseau puncte, cunoscute și sub numele de „psiphi” – pietricele), pentru a reprezenta numerele în triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri și pentagoane, ceea ce – cumva – le permitea o înțelegere vizuală a matematicii și permitea o explorare geometrică a relațiilor numerice.

11 „Paradoxurile lui Zenon” – din Elea, din secolul V de dinainte de Isus Hrhristos, discipol al lui Parmenide – sunt printre altele consacrate tocmai pentru modul în care pun sub semnul întrebării, atât posibilitatea existenței „mișcă­rii”, „pluralității” cât și a „divizării întregilor în părți infinit de mici”.

Așa încât:

1. „Ahile și broasca țestoasă”:

Ahile, un alergător – rapid – se întrece cu o broască țestoasă – lentă. Pentru a-i oferi o șansă, Ahile îi dă țestoase un avans. Iar domnul Zenon sugerează că Ahile nu va ajunge niciodată din urmă broasca țestoasă, întrucât acesta trebuie mai întâi să ajungă în punctul în care a plecat broasca țestoasă. Doar că, în acest timp, broasca țestoasă a parcurs deja o distanță mai mică. Pentru a acoperi această nouă distanță, Ahile trebuie să ajungă în noul punct, dar în acest timp broasca țestoasă a parcurs o altă distanță, chiar mai mică.

Și cum acest proces se repetă la infinit, împărțind distanța în segmente din ce în ce mai mici, domnul Zenon concluzionează că, de vreme ce există un număr infinit de puncte de parcurs, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă broasca țestoasă.

2. „Dihotomia”:

Pentru a se ajunge la o destinație, trebuie mai întâi să se parcurgă jumătate din distanță, apoi trebuie să se par­curgă jumătate din distanța rămasă și tot așa mai departe, până la infinit.

Așa încât, oricât de mică ar fi distanța, întotdeauna poate fi împărțită în două părți – eventual egale. Iar, pentru a putea fi parcursă, trebuie să parcurgă un număr infinit de „parți”, ceea ce ar fi imposibil într-un interval de timp – finit. Și astfel, „mișcarea” este o iluzie.

3. „Săgeata”

Orice săgeată aflată în zbor este, în orice moment dat, într-o stare „statică”.

Așa încât, domnul Zenon a sugerat că timpul este compus dintr-o serie de momente discrete, „înghețate” – ori cualte cuvinte, dintr-o succesiune de „staze”.

Și cum într-un anumit moment, o săgeată aflată în zbor ocupă un spațiu egal cu ea însăși, s-ar putea acceta fap­tul că, de fapt „stă”. Iar, cum acest fapt este valabil pentru fiecare moment din zborul acesteia, „săgeata trebuie să stea pe toată durata evoluției sale”.

Doar că, de fapt, seria infinită de „jumătăți” de distanță – precum ar fi: „1/2+1/4+1/8+ … și așa mai departe” – este o serie convergentă, a cărei sumă este egală cu 1. Întrucât – ceea ce probabil doar în proprie-mi perspectivă ar fi putut și domnul Zenon să-și fi imaginat – dacă un pătrat este pur și simplu tăiat succesiv în 2 jumătăți, iar apoi una dintre acestea este tăiată în alte 2 jumătăți, iar apoi una dintre acestea este tăiată în alte 2 jumătăți, chiar dacă s-ar împărții acel pătrat în „infinit de multe jumătăți”, acestea dacă ar fi reunite tot un pătrat ar forma.

Și mai mult chiar, orice formă geometrică indiferent în câte părți ar fi împărțită, tot aceeași formă va reprezenta, prin re-unirea acestora.

Și astfel, „orice sumă infinită de termeni care ar putea reprezenta chiar și o valoare infinit de mică” poate avea o „valoare finită”, ceea ce conduce la infirmarea tuturor celor astfel sugerate de către domnul Zenon.

Dar, asupra altor detalii asociate acestor soiuri de paradigme acceptive, în acest context, nu voi insista.

12 În 499 domnul, Aryabhata a conceput un sistem de numere poziționale, folosind consoane sanscrite pentru nu­mere mici și vocale pentru puterile lui 10.

Așa încât, folosind acest sistem, numerele de până la un miliard puteau fi exprimate folosind fraze scurte, dar care, întrucât producea fraze destul de … impronunțabile, a fost abandonat, deși aparent principiul sistemului de nu­mere poziționale i-a inspirat pe post-cursorii domniei sale.

13 Cel puțin conform celor sugerate în „Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers” de către domnul Karl Augustus Broneer – în lucrarea domniei sale, publicată la M.I.T. Press, în 1969.

14 Una dintre lucrările domniei sale în care, printre altele, instituie reguli pentru manipularea numerelor negative și pozitive, alături de o metodă de calculare a rădăcinilor pătrate și mai multe metode de rezolvare a ecuațiilor linia­re ori pătratice plus câteva reguli pentru însumarea seriilor alături de „identități” și câteva „teoreme”.

Precum – spre exemplu – „Identitatea lui Brahmagupta”, prin care, domnia sa sugera că, spune că, dat fiind n, produsul a două numere de forma a²+nb² este el însuși un număr de acea formă, adică:

(a²+nb2)(c²+nd²)=(ac−nbd)²+n(ad+bc)²

Respectiv „Teorema lui Brahmagupta’, prin care se afirmă că, dacă un patrulater înscris într-un cerc are diago­nale perpendiculare, atunci perpendiculara pe o latură din punctul de intersecție al diagonalelor întotdeauna va îm­părți în exact două parți egale, latura opusă.

Dar, asupra acestor detalii, nu voi insista.

15 Conform, cel puțin celor sugerate în „The Nothing that Is: A Natural History of Zero” , lucrarea domnului Robert Kaplan, publicată la Oxford University Press, în 1999 – printre paginile 68 și 75.

16 Confirm cel puțin celor sugerate de către domnul Rahul Roy, în articolul domniei sale „Babylonian Pythagoras’ theorem, the early history of zero and a polemic on the study of the history of science”. Publicat în „Reson” în volumul 8, printre paginile 30 și 40, în 2003.

17 Cel puțin conform celor sugerate în „Al-Khwarizmi: the inventor of algebra”, lucrarea domnului Corona Brezi­na, publicata la „New York – Rosen Pub. Group” în 2006.

18 În perioada pre-islamică, cuvântul „ṣifr” – arabă صفر – avea sensul de „gol”. Dar, a evoluat pentru a însemna zero, atunci când a fost folosit pentru a traduce ceea ce în sanscrită reprezenta „vid” śūnya – शून्य .

Cel puțin conform celor sugerate în „Annual Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution: Showing the Operations, Expenditures, and Condition of the Institution”, publicat de „Smithsonian Institution – U.S. Government Printing Office”, în 1903, la pagina 518.

19 Cel puțin conform celor sugerate în „The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer”, lucrarea domnului Georges Ifrah, publicată la „John Wiley & Sons Inc” în 2000.

20 Din latină „Cartea Calculului”, reprezintă o lucrare despre matematică – scrisă în latină, desigur – de către domnul Leonardo de Pisa, cunoscut postum drept „Fibonacci”.

21 Publicată inițial la Berlin, la „Verlag von T. C. F. Enslin – Adolph Enslin)”

22 Publicată inițial la Braunschweig, în Germania la „Friedrich Vieweg und Sohn”.

23 De fapt, domnul Georg Cantor a revoluționat – probabil – toată matematica prin dezvoltarea teoriei mulțimilor, în special prin lucrarea domniei sale „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre” – publicată în 1883 la Leipzig, de „B.G. Teubner” – în care a propus conceptul de cardinalitate – de număr al elementelor – pentru mulțimi infinite și demonstrând că există diferite tipuri de infinit. Spre exemplu, cardinalitatea mulțimii numerelor naturale – deși infinită – fiind strict mai mică decât cardinalitatea numerelor reale – „infinit mai mare” decât aceea a numere­lor naturale.

24 „Elementele – în original: Στοιχεῖα, Stoicheia – lui Euclid” reprezintă una dintre cele mai influente și cele mai importante cărți din istoria matematicii și a științei, un tratat matematic compus din 13 cărți, propus desigur, de că­tre domnul Euclid din Alexandria, cu aproximativ 300 de ani înainte de Isus Hristos.

Iar, opera domniei sale a servit drept principalul manual de geometrie și logică pentru mai bine de 2000 de ani, a fost una dintre cele mai vechi lucrări matematice tipărite după inventarea tiparului.

Și s-a estimat a fi a fost a doua după Biblie, în ceea ce privește numărul de ediții publicate de la prima tipărire din 1482 – cel puțin așa precum au sugerat doamna Uta B. Merzbach și domnul Carl B. Boyer, în capitolul „5: Eu­clid of Alexandria”, în lucrarea domniilor lor „A History of Mathematics”, în a treia ediție publicată la „John Wiley & Sons”, în 2010, printre paginile 90 și 108.

25 „Latino sine flexione” – sau „Interlingua de Academia pro Interlingua” – reprezintă un proiect sistematic prin care s-a dorit crearea a ceea ce de fapt s-a dorit a reprezenta „un limbaj științific universal”, conceput sub coordona­rea domnului Peano, între anii 1887 şi 1914.

De fapt, în articolul „De Latino Sine Flexione, Lingua Auxiliare Internationale” – publicat în 1903 în Revue de Mathématiques în „Tomo VIII, pp. 74-83”, publicat la „Fratres Bocca Editores: Torino” – domnul Peano fundamen­tează această perspectivă sustentând-o pe observațiile domnului Leibniz privind posibilitatea simplificării limbii la­tine și – în acest context – dezvoltând conceptul într-un sistem coerent şi aplicabil.

Și – în acest context – în 1908, domnia sa devine membru și director al „Akademi internasional de lingu uni­versal” – care se transformă în 1909 în „Academia pro Interlingua” – instituție care devine platforma prin care se dezvoltă și se standardizează acest soi de formalism lingvistic, prin intermediul publicației oficiale „Discussiones” – publicată între anii 1909 și 1913.

Așa încât, principale particularități ale „Latino sine flexione” erau reprezentate, de:

Lipsa flexiunilor gramaticale – cuvintele nu își schimbau terminațiile în funcție de caz, număr sau funcția gra­maticală

Ordinea fixă a cuvintelor – de obicei subiect-predicat-complement direct, similar limbilor romanice moderne

Vocabular simplificat – întrucât folosea rădăcini latine dar elimina formele neregulate

Absența genului gramatical – prin renunțarea la sistemul complex de definire a genurilor din „latina clasică”

Conjugare minimă – verbele aveau forme foarte simple și regulate

Spre exemplu, în loc de posibilitatea de a se propune în clasica manieră latinească:

„Malum pulchrum est”

În care „malum” reprezintă cazul nominativ neutru, iar „pulchrum” se acordă în gen neutru cu acesta, și „est” este forma conjugată a verbului „a fi”, „Latino sine flexion”-ian s-ar putea – pur și simplu – propune:

„Malo es pulchra.”

Așa încât, „malo” rămâne neschimbat – „fără flexiune de caz”, „es” este forma simplificată, neconjugată a ver­bului „a fi”, în timp ce, „pulchra” rămâne în forma de bază, fără „acordul de gen”.

Iar domnul Peano credea că acest soi de simplificări ar face latina accesibilă ca limbă internațională modernă, păstrând în același timp moștenirea ei academică și științifică.

Oricum, deși această perspectivă a suscitat un oarecare interes academic – și nu numai că a fost chiar folosită în publicații matematice pentru o vreme și conjunctural, s-au propus și versiuni alternative – dar, în cele din urmă, nu a reușit să fie – pe deplin – adoptată.

26 Principiul terțului exclus – „Principium tertii exclusi” ori „Legea mijlocului exclus” este unul dintre principiile fundamentale ale logicii clasice, astfel „formulabil”:

„Pentru orice propoziție P, este adevărată fie P, fie negația sa ¬P. Nu există o a treia posibilitate. «Tertium non datur”, cu alte cuvinte, cale de mijloc nu există”.

Ori într-o notație – ceva – mai contemporană: P ∨ ¬P

Deci: „Doar P sau non-P este întotdeauna adevărată”.

Precum, spre exemplu:

„Numărul 2 este par sau nu este par.”

„Ploua sau nu plouă.”

Oricum – revenind – în logica peanoiană principiul este implicit acceptat în sistemul său axiomatic, doar că, „constructiviștii” îl resping și consideră că o propoziție este adevărată doar dacă poate fi – cumva – „construită”.

Iar, logicienii „intuiționiștii constructiviști” – precum domnii Brouwer ori Arend Heyting repudiază explicit acest principiu.

Oricum, diferența esențială dintre logica constructivistă și cea intuiționistă științifică, stă tocmai în felul în care fiecare privește și definește adevărul matematic și existența obiectelor – matematice, în acest caz.

Constructiviștii susțin că pentru a demonstra existența unui obiect matematic, trebuie să se construiască efectiv acel obiect sau să se furnizeze o metodă concretă pentru a-l construi. Și nu e suficient doar să se demonstreze că o contradicție ar apărea dacă acel obiect nu ar exista. Așa încât, resping legea terțului exclus – adică faptul că o pro­poziție este fie adevărată, fie falsă – argumentând că, pentru o propoziție, este posibil să nu avem nici o demonstra­ție a adevărului, nici o demonstrație a falsității sale.

Intuiționiștii – într-o perspectiva oarecum sinoptică – promovează formă specifică de logică constructivistă, susținând că obiectele matematice există doar ca produse ale minții umane. Așa încât, un obiect matematic nu are o existență independentă de mintea creatorului său. Iar, adevărul unei propoziții matematice este stabilit prin fie prin „evidența sa” mentală, fie printr-o demonstrație.

Așa încât, „intuiționismul” este o ramură a constructivismului.

Și fiecare intuiționist este un constructivist, dar nu fiecare constructivist este un intuiționist.

Principala diferență constând în faptul că, în timp ce constructiviștii se concentrează pe necesitatea unei con­strucții explicite, intuiționiștii se bazează pe activitatea mentală – sau pe intuiție – ca sursă finală a realității matema­tice.

Spre exemplu, unii „constructiviști” pot accepta principiul ori legea terțului exclus – în anumite contexte – în timp ce absolut toți „intuiționiștii” le resping categoric.